1引言
經典物理學的主角是物質和能量。20 世紀初，愛因斯坦寫下E =mc2 ，將質量和能量統一在了一起。而從那之后，一個新角色——信息(Information)——逐漸走向了物理學舞臺的中央。信息是關于不確定程度的度量。Shannon 創立信息論的初衷是為了定量化地描述信息的存儲和傳輸。Jaynes 從信息論的角度研究多粒子體系，重新闡釋了統計力學。原來，物理學家所熟知的熱力學熵與Shannon 用來衡量信息量的信息熵(Information Entropy)系出同源。Landauer 指出擦除信息會增加熱力學熵，從而產生熱量。因此，對于信息的一切處理(比如計算)都受到熱力學基本定律的約束。這些工作使人們逐漸意識到，信息不是一個單純的數學概念，而是與物質和能量一樣基本的物理概念。
量子力學給物理世界帶來了固有的不確定性，從而促生了量子信息理論。量子信息論中最核心的概念是量子糾纏。如果兩個微觀粒子的整體波函數不能夠被寫成各部分的直積，香港服務器 香港服務器租用，那么它們之間就存在糾纏。對于存在量子糾纏的體系，觀察其中的一部分能夠告訴我們關于另外一部分的信息。類比于經典信息熵， 我們使用糾纏熵(Entanglement Entropy)來度量量子糾纏的大小。量子信息論的視角，特別是量子糾纏的概念在現代物理學的研究中扮演著日趨重要的角色。
凝聚態物理學家用量子糾纏來刻畫量子物質態。傳統上，他們使用對稱性和宏觀序參量來區分不同的物質狀態。這成功地解釋了超流體、超導體、磁性等豐富多彩的自然現象。然而，近些年來人們發現了越來越多僅用對稱性難以區分的物質態，比如不同種類的自旋液體態、分數量子霍爾態等等。量子糾纏可以給這些新的物質態一個恰當的標記。比如，糾纏熵隨著體系尺寸的標度行為反映了量子物質態的基本特性。而對于標度行為的修正也可能包含著關于物質態的普適信息。研究量子物質態中糾纏的大小和模式成為現代凝聚態物理的一個核心問題。此外，量子糾纏還指引計算物理學家發展高效的數值算法精確地模擬量子多體現象。本次專題的另外幾篇文章介紹了使用張量網絡態(Tensor Network State)方法研究量子多體問題的進展。張量網絡算法的成功很大程度上來源于量子物質態典型的糾纏結構：面積定律。很多人們關心的量子體系的兩部分之間的糾纏熵僅僅正比于其邊界的大小，這使得利用經典計算機高效而精確地研究這些量子多體問題成為可能。有意思的是，量子態所遵循的面積定律還和黑洞的熵有著深刻的聯系。從量子信息的視角審視引力、蟲洞以及量子混沌等現象，甚至有可能加深我們關于時空的本源的理解。國際上關于這方面的研究開展得如火如荼。美國的Simons 基金會支持了一項專注于此的合作研究項目。
量子糾纏的深遠影響并沒有就此止步，一些最新的研究進展表明，它對機器學習(Machine Learning)中的一些問題也可能有啟發和指導意義。機器學習的研究目標是讓計算機獲得一定程度的智能，不需要過多的人為干預就可以高效地解決實際問題。通常，這種看似神奇的能力是從大量樣本的學習中獲得的。由于近年來算法和硬件的快速發展以及大量的數據積累，機器學習取得了一系列令人振奮的成果。特別是2016 年3 月Google DeepMind 所制造的AlphaGo 程序戰勝了世界圍棋冠軍李世乭，使得以深度學習(Deep Learning)為代表的新一代機器學習技術走進了大眾的視野。如今，機器學習在圖像和語音識別、機器翻譯、計算廣告、推薦系統等人類生活的方方面面都扮演著日趨重要的角色。而它的應用也在逐漸向天文、物理、化學、材料、生物、醫藥等眾多科學研究領域滲透。具體到本文作者所工作的領域：將機器學習方法應用于量子多體問題，可以從高維空間紛雜的微觀構型數據中提取出關鍵的物理信息。而將機器學習的思想與傳統計算途徑相結合，為解決凝聚態和統計物理中的疑難問題提供了新思路。最近的一些嘗試包括使用機器學習方法探測相變和分類物質相，探索使用人工神經網絡作為量子體系的試探波函數等等。這些嘗試讓物理學家們有機會仔細審視機器學習領域的核心思想和技術。本文介紹的就是這一方向上新涌現出的一個研究思路：從量子糾纏的視角審視深度學習，從而反饋機器學習的發展。
深度學習究竟在做什么？用最簡短的話概括，就是函數近似(Function Approximation)。函數近似的目的是用高效經濟的方式盡可能精確地描述復雜的函數映射。實際問題中的目標函數可能是圖像識別應用中從微觀像素到圖片類別的映射，可能是AlphaGo 中圍棋的局面到最終勝率的估計，也可能是Atari 視頻游戲中的畫面到最優控制策略的映射等等。讀者也許已經看出來了，以上這幾個函數恐怕都很難用一個簡潔的方式表達。即使考慮一個極端簡化的情形：怎樣描述有N 個二進制自變量的多元函數？原則上，我們當然可以存儲一個2N 行的表格來精確表達這樣一個函數。這個表格的每一行對應了一種可能的輸入和輸出，函數的計算也就等價于查表。可是只要N ? 70 ，即使用上全世界所有的存儲介質，我們也沒有能力存下這張表格，更不要說對它進行高效的查找了。
